Il cavo che andava nel frigo porta fase e neutro per la lampadina interna e ritorna al motore col filo nero che dovrebbe essere stato collegato al termostato.
Se non ti serve un comando di partenza separato prova a lasciare collegato uno dei fili (ad esempio il blu) della presa di corrente dov'e' e collega l'altro al posto del nero, se non va inverti i fili e riprova.
Se funziona non ti resta che fare le foto di come hai realizzato il tutto e pubblicarle come articolo
Altrimenti prova a lasciare i fili della presa dove stanno e tocca col filo nero prima uno poi l'altro morsetto a cui arrivano i fili presa e troverai quello che lo fa partire.
A questo punto potresti usare il filo nero collegando un pressostato fra esso ed il morsetto che fa partire il motore per regolare la pressione oppure collegandoci un pulsante per comandare il compressore da sopra al tavolo di lavoro.
IMPORTANTE:Quanto detto sopra va fatto tenendo presente che a distanza posso solo fare ragionevoli ipotesi, mi resta ad esempio il dubbio di cosa fosse collegato al morsetto "N" in alto a sinistra nella foto. Probabilmente un neutro o magari era libero ma potrebbe darsi che ci fosse un altro filo, boh.
In ogni caso se friggi il motore non chiedermi i soldi